Cálculo de probabilidade a partir de áreas
Um município de 628 km² é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10km do município, conforme mostra a figura:
Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras.
 
Essa probabilidade é de, aproximadamente,
Ao realizar uma compra em uma loja de departamentos, o cliente tem o direito de participar de um jogo de dardo, no qual, de acordo com a região do alvo acertada, ele pode ganhar um ou mais prêmios. Caso o cliente acerte fora de todos os quatro círculos, ele terá o direito de repetir a jogada, até que acerte uma região que dê o direito de ganhar pelo menos um prêmio. O alvo é o apresentado na figura:
 
 
Ao acertar uma das regiões do alvo, ele terá direito ao(s) prêmio(s) indicado(s) nesta região. Há ainda o prêmio extra, caso o cliente acerte o dardo no quadrado ABCD.
 
João Maurício fez uma compra nessa loja e teve o direito de jogar o dardo. A quantidade de prêmios que João Maurício tem a menor probabilidade de ganhar, sabendo que ele jogou o dardo aleatoriamente, é exatamente:
Considere um quadrado de vértices em  (0,0),(1,0),(0,1)e(1,1).\begin {pmatrix} 0,0 \end {pmatrix}, \, \begin {pmatrix} 1,0 \end {pmatrix} \, , \begin {pmatrix} 0,1 \end {pmatrix} \, e \,\begin {pmatrix} 1,1 \end {pmatrix}.
Suponha que a probabilidade de uma região  A,A, contida no quadrado, seja a área desta região. Considere a região  A={(x,y)IR2/x23ouy23}.A \, = \, \{ \begin {pmatrix} x,y \end {pmatrix} \, \in \, IR^2 \, / \, x \, \ge \, { \large 2 \over 3} \,\, ou \,\, y \,\, \ge \,\, { \large 2 \over 3} \}.
A probabilidade do evento  AA ocorrer é